Unique Binary Search Trees leetcode

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

分析转自:http://www.cnblogs.com/springfor/p/3884009.html

   这题想了好久才想清楚。其实如果把上例的顺序改一下，就可以看出规律了。 

      1         3     3      2      1
       \       /     /      / \      \
        3     2     1      1   3      2
       /     /       \                 \
      2     1         2                 3

   比如，以1为根的树有几个，完全取决于有二个元素的子树有几种。同理，2为根的子树取决于一个元素的子树有几个。以3为根的情况，则与1相同。

    定义Count[i] 为以[0,i]能产生的Unique Binary Tree的数目，

    如果数组为空，毫无疑问，只有一种BST，即空树，
    Count[0] =1

    如果数组仅有一个元素{1}，只有一种BST，单个节点
    Count[1] = 1

    如果数组有两个元素{1,2}， 那么有如下两种可能
    1                       2
     \                    /
       2                1
    Count[2] = Count[0] * Count[1]   (1为根的情况)
                  + Count[1] * Count[0]  (2为根的情况。

    再看一遍三个元素的数组，可以发现BST的取值方式如下：
    Count[3] = Count[0]*Count[2]  (1为根的情况)
                  + Count[1]*Count[1]  (2为根的情况)
                  + Count[2]*Count[0]  (3为根的情况)

    所以，由此观察，可以得出Count的递推公式为
    Count[i] = ∑ Count[0...k] * [ k+1....i]     0<=k<i-1
    问题至此划归为一维动态规划。

   [Note]
    这是很有意思的一个题。刚拿到这题的时候，完全不知道从那下手，因为对于BST是否Unique，很难判断。最后引入了一个条件以后，立即就清晰了，即
    当数组为 1，2，3，4，.. i，.. n时，基于以下原则的BST建树具有唯一性：
   以i为根节点的树，其左子树由[1, i-1]构成， 其右子树由[i+1, n]构成。 

” 

同时为了根据递推式来写程序，需要将递推式简化一下。

根据卡特兰数，C0Cn+1，因为leetcode输入的参数是n，所以为了避免混淆，这里递推式写成Ct+1,初始值为C0 = 1。

原始的递推式是： Ct+1 += Ci*Ct-i (0<= i <=t)

现在令变量num=t+1，那么t=num-1

所以原始递推式做变量替换得：Cnum += Ci*Cnum-1-i (0<= i <=num-1) 

而num的取值范围是[1, n]因为C0已知。

state : res[n]表示total number of BST
initial : res[0] = 1 res[1] = 1
function: res[n] = res[j] *res[n-j-1] 0 < j <n
answer: res[n]

每个i需要循环两次得到答案， 时间为O(n^2) 空间O(n) 

public class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) {
            return 1;
        }
        int[] res = new int[n + 1];
        res[0] = 1;
        res[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                res[i] += res[j] * res[i - j - 1];
            }
        }
        return res[n];
    }
}